Algèbre linéaire Exemples

$x + 2 y + 3 z = 5$ , $3 x - y + 2 z = 8$ , $4 x - 6 y - 4 = - 2$

Étape 1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x + 2 y + 3 z = 5, 3 x - y + 2 z = 8, 4 x - 6 y = - 2 + 4$

Étape 2

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$x + 2 y + 3 z = 5, 3 x - y + 2 z = 8, 4 x - 6 y = 2$

Étape 3

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & - 1 & 2 & 8 \\ 4 & - 6 & 0 & 2 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 2 - 3 \cdot 3 & 8 - 3 \cdot 5 \\ 4 & - 6 & 0 & 2 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & - 7 & - 7 & - 7 \\ 4 & - 6 & 0 & 2 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & - 7 & - 7 & - 7 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 6 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 3 & 2 - 4 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & - 7 & - 7 & - 7 \\ 0 & - 14 & - 12 & - 18 \end{array}]$

Étape 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 \\ 0 & - 14 & - 12 & - 18 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 14 & - 12 & - 18 \end{array}]$

Étape 4.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 4.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 12 + 14 \cdot 1 & - 18 + 14 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & - 4 \end{array}]$

Étape 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 4}{2} \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 + 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 11 - 2 \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = 5$

$y = 3$

$z = - 2$

Étape 6

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(5, 3, - 2)$

Étape 7

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array}]$